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关于三点确定抛物线解析式的公式解法
作者:佚名 文章来源:不详 更新时间:2010-3-14 19:27:04

在学二次函数的时候,我们经常会碰到用三个坐标确定抛物线解析式的计算,通常我们会列一个三元一次方程组来解,但计算非常繁琐,且容易出错。下面介绍一种我自创的利用科学计算器来解的公式解法,为方便说明,以(1,2),(2,4),(4,5)这三个坐标为例,设抛物线为y=ax^2+bx+c。
⒈将这三个坐标以任意顺序排成一行,用第二个坐标的y值和x值分别减去第一个坐标的y值和x值,将两个差相除,结果代入计算器的A储存器中(示例:(4-2)/(2-1)=2,2代入A,代入方法请查阅你的计算器使用说明书)。
⒉用第三个坐标的y值和x值分别减去第二个坐标的y值和x值,将两个差相除,结果代入B储存器中(示例:(5-4)/(4-2)=1/2,1/2代入B)。
⒊用第一个坐标的x值减去第三个坐标的x值,结果代入C储存器(示例:1-4=-3,-3代入C)。
⒋用第一个坐标的x值加上第二个坐标的x值,结果代入D储存器(示例:1+2=3,3代入D)。
⒌a=(A-B)/C(示例:a=-1/2,a即y=ax^2+bx+c中的a)。
⒍b=A-D•a(示例:b=7/2,D•a表示D乘上面算出的a,在计算器中可用“Ans”代替,如果没有这个键就自己输入)。
⒎将任一个坐标代入y=ax^2+bx+c,算出c(示例:2=(-1/2)×1^2+(7/2)×1+c,c=-1)。
⒏得出结果:y=(-1/2)x^2+(7/2)x-1(可以写成y=-0.5x^2+3.5x-1,依你习惯而定)。


上面的解法写成公式就是:由(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)计算y=ax^2+bx+c:
①(y2-y1)/(x2-x1)→A
②(y3-y2)/(x3-x2)→B
③x1-x3→C
④x1+x2→D
⑤a=(A-B)/C
⑥b=A-D•a
⑦c=y1-ax1^2+bx1(x1,y1可换成x2,y2或x3,y3)
⑧得出结果:y=ax^2+bx+c


注:⒈以上方法适用中学用的科学计算器,各个步骤都可以在计算器上完成。如果你的计算器上没有储存功能,你也可以将A,B,C,D的值记在草稿纸上来帮助计算,实在没有计算器就笔算出A,B,C,D的值,再用公式计算,这样也比解三元一次方程组要快得多。
⒉由于公式较长,刚开始用时可能容易出错,所以,越熟练越好。
⒊当a=0时,表示没有二次项,这是一个一次函数,它的图像不是抛物线;当b=0或c=0时,表示没由一次项或常数项。
⒋任意改变三个坐标的位置,算出的结果不变。
⒌由(y2-y1)/(x2-x1)和(y3-y2)/(x3-x2)可得x2-x1≠0,x3-x2≠0,即x1≠x2,x2≠x3。其实这并非公式的例外情况,因为根据函数的定义,抛物线上不可能存在两点的x值相同,而y值不同的情况(函数的定义是:在某个变化过程中,有两个变量x和y,如果给定一个x值,相应地就确定了一个y值,那么我们称y是x的函数)。所以说,这个公式可以用于三点确定抛物线解析式的任意情况。
⒍由于公式较复杂,按计算器时容易按错,建议算完后用不同于上面第七步的另一个坐标(两个更好)代入验算。

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